Регистрация - это всего лишь уведомление органов внутренних дел о вашем проживании. Для иностранных граждан же для проживания необходимо специальное разрешение (РВП или ВНЖ). Для начала вам нужно решить вопрос о РВП, а потом думать о регистрации.

Те же, что и для других субъектов Федерации. Для граждан РФ нарушение правил регистрации - до 25 минимальных заработных плат, для иностранцев - до 15 и возможное выдворение.

Для граждан стран с визовым режимом РВП выдается под визу временно проживающего, с которой они могут пересекать границу при надобности. Для граждан стран с безвизовым режимом с Россией вообще нет никаких проблем. Ездите туда-сюда на здоровье. Никто у вас ничего изымать не будет.

Миграционный учет граждан РФ не каксается.