продление регистрации

Я ХОТЕЛ ПРОДЛИТЬ РЕГИСТРАЦИЮ НО МНЕ ОТКАЗАЛИ ТЕПЕРЬ МНЕ ПРИДЕТЬСЯ ПЕРЕСЕКАТЬ ГРАНИЦУ И Я НЕСМОГУ СДАТЬ ЗАДОЛЖНОСТИ В ИНСТИТУТЕ.МОГУ ЛИ Я НЕ ВЫЕЗЖАВ ИЗ МОСКВЫ ПРОДЛИТЬ РЕГИСТРАЦИЮ?

Пересечение границы никак не связано с регистрацией. Если речь идет о продлении срока временного пребывания, то оно может быть сделано органами внутренних дел. Если вам отказано, то вы обязаны выехать.