За что штраф?

И всё-таки, скажите, за что сотрудники милиции взымают штраф: за пребывание в городе без регистрации; за просто существование без регистрации или за проживание в конкретном жилье без регистрации?

за проживание в конкретном жилье без регистрации

Скажите а как же быть в такой ситуации: останавливает патруль, проверяет документ. Прописки нет, ведут в отделение и выписывают бумагу об административном нарушении с последующим штрафом (у меня такое было, правда штраф я не пошёл платить). Что говорить в таких случаях?

А чего тут говорить? Есть конкретная обязанность - регистрироваться в конкретном жилом помещении, в котором проживаете. За это и установлена адм. ответственность. Обязанности быть где-либо зарегистрированным не существует, соответственно и ответственности. В протоколе просто напишите, что не согласны с протоколом, во время задержания находились на улице, в жилом помещении более 90 суток не пребывали и забудьте о протоколе.