Зарегистрироваться на основании договора найма(поднайма) жилого помещения, в котором вы проживаете. Наличие регистрации, кстати, не может быть условием при приеме на работу, Трудовой Кодекс это четко запрещает.

О перспективах получения гражданства на основании написанного говорить сложно, но это вполне возможно. Для работы, на первое время, скорее всего понадобиться разрешение на работу.

Должно ли получать предприятие - юридическое лицо квоту и Разрешение Миграционной службы, если привлекает для выполнения работ граждан Белоруссии?

Соглашение предусматривает не введение миграционных карт для граждан РБ, а выдачу миграционных карт общего образца на внешней границе союзного государства. Миграционных карт гражданам РБ никогда не выдавали и в ближайшем будущем не будет. Нормативное оформление это получит после ратификации Россией …