Регистрироваться необходимо в течение 3 рабочих дней с момента въезда. В компетенцию работодателя не входит проверка наличия регистрации, это исключительно взаимоотношения гражданина и государства, поэтому трудовой договор, естественно, может быть заключен и при отсутствии регистрации.

Основанием для продления регистрации является ваш трудовой договор, регистрацию можно оформить на год.

Предприятию оформляющему ИРС из безвизовых стран бывших СНГ ( кроме БАЛТИИ, ГРУЗИИ, ТУРКМЕНИИ)разрешение на привлечение не надо. Граждане из Украины, Таджикистана, Узбекистана, Молдовы  оформляют патент на работу самостоятельно и работают в организации на основании патента. Для граждан Белоруссии, А…

Регистрации для иностранных граждан нет. Есть постановка на миграционный учет. РнР вам не позволит продлить срок пребывания в России. А вот РнР+трудовой договор - ДА.