Прописка

В январе текущего года я получил Российское гражданство и загранпаспорт РФ. Каким образом я могу прописаться на территории России, если ещё не выписан со старого места проживания в Узбекистане? Какие для этого необходимы документы и каков порядок?

Не прописаться, а получить регистрацию по месту жительства. Находите квартиру(покупаете или там др. варианты) и регистрируетесь в ПВО по месту нахождения квартиры, список документов в ПВО всегда висит.

Россия не признает второе гражданство, поэтому где вы прописаны как гражданин Узбекистана ее не должно интересовать.